Como ya hemos mencionado en el post introductorio, las comunicaciones digitales se pueden modelar según un sistema que tiene 3 partes principales: el transmisor, el canal y el receptor. La información que pasa por estas partes es una señal que no se conoce antes de ser creada, por lo cual debe incluirse una base probabilística y determinística en el modelo para saber cómo tratar la información que será enviada. También debemos agregar las perturbaciones que se generan al transmitir dicha información.
En términos de la parte probabilística, hay dos tipos de eventos principales: independientes y dependientes. Como ejemplo de evento independiente está el caso de lanzar una moneda 2 veces, donde el resultado de un lanzamiento es independiente del otro, por lo cual, si quisiéramos obtener la probabilidad de sacar una cara y un sello, simplemente se deberá multiplicar ambas probabilidades. Para la suma de eventos independientes, simplemente se sumarán ambas probabilidades de que ocurra cada evento. Para el caso de eventos dependientes, se deberán agregar otros supuestos sobre cómo interactúan entre si los eventos, como las probabilidades condicionales.
Acercándonos más al caso de las comunicaciones, un modelo probabilístico que interesa es la función gaussiana, la cual consta de dos parámetros: su norma y su desviación estándar. Nos interesa esta función ya que se han desarrollado muchas aplicaciones para esta, como la representación de distribuciones poblacionales a partir de una muestra a través del teorema del límite central o la representación del ruido gaussiano, para el caso de comunicaciones.
Figura 1: Grafico de una función gaussiana estándar
Ahora que tenemos una expresión para el ruido, nos falta una para la información. Para representar la información es importante tener en cuenta que la señal transmitida se modela como una variable aleatoria, al igual que el ruido. Para lograr transmitir la información, necesitaremos pasar esta por un sistema, el cual se modela como lineal e invariante en el tiempo, o LIT. La idea de los sistemas LIT es que para una entrada dan una salida acorde al sistema y la entrada. Para conocer la salida, estos sistemas tienen una función h(t), llamada respuesta al impulso, la cual permite saber la salida del sistema a partir de cualquier entrada. Un ejemplo de un sistema LIT es un filtro, ya que se le ingresa una señal sinusoidal con cierta amplitud, y la salida entrega esta señal cortada por el filtro, como se muestra en la figura 2.
Figura 2: (a) Filtro pasa-bajos en el dominio de las frecuencias
(b) Entrada (azul) y salida (verde) del filtro en el dominio del tiempo
¿Cómo relacionamos lo que llevamos hasta ahora, los modelos de probabilidades con los sistemas de comunicación? La respuesta está en la energía necesaria para enviar la información, la cual se analiza en términos de cuanta potencia contiene una señal. Recordando que en la introducción se mencionó el uso de transformada de Fourier para analizar las señales en términos de sus frecuencias, hay que destacar que no importa en qué plano se analiza la energía, ya que la energía es una magnitud constante que se conserva, y es la misma para el análisis en tiempo o en frecuencia. Gracias a esto, y que las señales de información y de ruido se modelan como procesos aleatorios estacionarios, se puede obtener la función densidad espectral de potencia de estas señales realizándole la transformada de Fourier a la función de autocorrelación de la señal, con lo cual logramos obtener la potencia de la señal a través de la integración de la función de densidad espectral de potencia.
Finalmente, ahora que tenemos una expresión para la potencia de una señal, la potencia de una transmisión, o del mensaje, será la suma de la potencia del ruido, que fue modelado como ruido blanco o gaussiano, más la potencia de la señal sin ruido, cumpliendo las reglas de sumas de variables aleatorias, sobre la cual están modeladas. Con esto, se da paso a nuevos conceptos para el diseño de los sistemas de comunicación, como son la relación señal a ruido, la cual será vista en otro post.